Discusión actualizada sobre el módulo de reacción aplicable a pavimentos

Revista Geotecnia 261 Septiembre-Noviembre 2021

Aurelio Salazar Rodríguez Ingeniero civil. Maestro en Ingeniería (mecánica de suelos). Fue ingeniero de proyecto de varias empresas de geotecnia e ingeniería estructural. Coordinador de Vías Terrestres en el Instituto Mexicano del Cemento y del Concreto, A.C. Autor de tres libros sobre pavimentos rígidos. Ha participado como instructor sobre esta temática en el país y el extranjero. Profesor de asignatura de la FI UNAM. Actualmente es responsable de la empresa Sabma Ingeniería, S.A.

Se presenta en este trabajo una revisión histórica, y también actualizada, sobre la obtención, interpretación y empleo adecuado del módulo de reacción como parte de la información geotécnica en el análisis de pavimentos rígidos.

Introducción

El comportamiento de las capas de rodadura, en particular el de las losas de concreto de cemento Pórtland (CCP), depende de varios factores: rigidez de las capas inferiores (respuesta en deflexión ante carga), uniformidad en la calidad de soporte a lo largo del eje de trazo considerando los cambios de clima y tiempo –asentamientos, por ejemplo–, la fricción entre las losas de rodadura y la capa base, capacidad de drenaje en capas granulares y terreno de apoyo, y erosión de bases y terreno de apoyo en zonas críticas, tales como bordes y esquinas. La temperatura puede cambiar drásticamente el comportamiento de pavimentos tanto flexibles como rígidos, aunque lo hace en forma diferente, atendiendo al tipo de materiales que conforman a estos últimos.

Se atribuye a Winkler (1867) el concepto de cimentación de líquido denso. Tal cimentación presenta deflexiones solamente en la zona sujeta a carga, y el módulo de reacción es función de la magnitud de carga aplicada, tipo de suelo y geometría de la placa de apoyo. En este modelo no se transmiten esfuerzos en las caras de cortante en la vecindad del punto de carga, esto es, no se presenta una condición de continuidad en deflexiones. Posteriormente hubo otros esfuerzos para aplicar este concepto, por ejemplo Hertz (1884), Föppl (1907), Koch (1925), Schleicher (1925) y Westergaard (1926).

El concepto de “líquido denso” constituye el extremo del comportamiento lineal de una cimentación; el otro extremo lo constituye la cimentación sólida elástica (o también llamada de Boussinesq). La respuesta de la gran mayoría de los suelos está situada en medio (véase figura 1).

El modelo de Winkler permite de manera simple el cálculo de esfuerzos y deflexiones en losas y sistemas de apoyo, si bien el empleo de las computadoras hace irrelevante la consideración del tiempo de procesamiento. Quizás la más importante razón sea que la determinación de deflexiones en orillas y bordes de losas concuerda razonablemente bien con las medidas en el campo procesadas en cálculo inverso. Como se sabe, además del comportamiento a bajos niveles de esfuerzo, los suelos exhiben deformaciones no recuperables y dependientes del tiempo. En ingeniería de pavimentos, los suelos finos representan todo un reto en comportamientos a largo plazo. El valor del módulo de reacción, cuando se determina mediante deflectómetro de impacto en campo, k, es más alto que el determinado para condiciones estáticas; sin embargo, bajo consolidación en suelos cohesivos saturados (o de carga lenta) puede ser muy bajo. Ello obedece a que en cargas rápidas no hay tiempo de que la presión de poro se disipe. Es paradójico que, al menos para el diseño de pavimentos nuevos, hasta hace por lo menos 20 años los valores de k que se introducían en los análisis rutinarios se obtenían mediante ensayes estáticos, siendo que en realidad las acciones por tránsito eran más bien transitorias y dinámicas. Estas últimas se simulan en campo mediante pruebas de deflectómetro de impacto, empleadas rutinariamente para evaluar pavimentos en servicio.

Para el caso de suelos finos, sobre todo los saturados, cuando se sujetan a cargas lentas o sostenidas se presenta su consolidación. Como se sabe, esta última tiene dos componentes: una que podría deberse a deformaciones elastoplásticas, que es cuando toma lugar el desalojo del agua gravitacional –disipación de presión de poro–. La segunda componente es la consolidación secundaria, cuando rigen las deformaciones por viscosidad intergranular; el comportamiento se debe a la parte sólida, los granos se deforman y ya la presión de agua hidrostática es muy pequeña. En esta región, la deformación tipo creep nunca alcanza un límite. Es por ello que en algunos suelos las dos ramas de consolidación desempeñan un papel significativo. Para definir la frontera entre ambos tipos de consolidación, se han adoptado, tanto en la práctica como en la normativa, límites de deformación, de forma tal que el efecto primario quede terminado para efectos prácticos en rangos muy pequeños de deformación, comparados con los registrados al inicio del ensaye odométrico. Así, el módulo k, estrictamente hablando, al ser función de la geometría de estratos y del tipo de material, varía con el tiempo, sobre todo en suelos finos. El analista debe considerar este fenómeno.

La ecuación de Westergaard para una losa sobre un líquido denso

En 1925, Westergaard (1926) presentó sus clásicas soluciones para el cálculo de deflexiones en puntos específicos de una losa apoyada en un “líquido denso” sometida a cargas a) interior, b) borde y c) esquina. Introdujo el término “módulo de reacción del terreno”, k, y el concepto de tasa de rigidez relativa, que describe la rigidez de una losa respecto a la del terreno natural. Incluso sugirió que se podría calcular por retrocálculo el k a partir de deflexiones en la losa, en lugar de obtenerlos a partir de ensayes de placa a nivel del suelo de apoyo. De alguna manera pensó en proponer un valor de k útil para evaluar pavimentos existentes, y que ayudara al diseño de un pavimento nuevo. Sin embargo, Westergaard no contempló en forma explícita el cálculo de k para ser empleado en el diseño de un pavimento nuevo. Así pues, nunca llegó hasta el punto de conciliar el valor de k obtenido en prueba de placa con aquél obtenido en retrocálculo mediante ensayes de deflexión.

El autor, aún en esas fechas, pudo percibir algunos problemas que persisten en la actualidad para la caracterización de las condiciones de apoyo. En relación con la diferencia entre cargas estáticas y dinámicas, sugirió que “era posible simular la respuesta ante carga dinámica expresándola mediante un incremento de k en forma aproximada” (Westergaard, 1925).

Respecto a la caracterización de la losa de rodadura en los análisis, en la práctica de los últimos 70 años casi siempre se omiten, de manera incorrecta, los esfuerzos en losas debidos a alabeo en los diseños de estructuras de pavimentos. El efecto de alabeo influye de forma significativa en el comportamiento de las losas de concreto de cemento Portland.

Estas ecuaciones se han estudiado desde la década de 1930. En efecto, se pueden mencionar los ensayes en tramos de prueba en Arlington, Virginia, EUA, llevados a cabo por el Consejo de Caminos Públicos, para verificar lo adecuado de las ecuaciones de Westergaard. Fue la primera vez que se ejecutaron análisis de retrocálculo. Otro esfuerzo relevante lo llevó a cabo el Cuerpo de Ingenieros del Ejército de Estados Unidos (USACE) en los cuarenta; sus trabajos estuvieron encaminados a determinar de manera racional los valores de k, fundamentalmente con ensayes de placa de campo, con diámetros que iban de 12 a 72”; se comparaban resultados medidos en el paño superior de una losa y en el paño superior del terreno de apoyo. Esta metodología de prueba sirvió de base para las normativas de la AASHTO y la ASTM, que fueron propuestas posteriormente.

Middlebrooks et al. (1942) fueron de los primeros investigadores en proponer una correlación entre el CBR y k. Es importante señalar que por primera vez se invoca un valor límite de la deflexión (1.27 mm) para definir el valor de k en la prueba de placa. Por cierto, en esta última, y conforme al USACE, no se involucraban cargas repetidas –ciclos histeréticos–, como se había hecho en los trabajos de Arlington en los treinta ya referidos anteriormente. Aquí la pregunta es: ¿el valor de k toma en cuenta el rango elástico solamente, o incluye condición elastoplástica? Es importante la respuesta, ya que muchas de las metodologías no lo explican –incluso datan de 1942, como las que se basan en los resultados del USACE y las adoptadas por el ejército de EUA y la Portland Cement Association en 1984–. La respuesta solamente se puede inferir, pero no hubo ninguna explicación definitiva.

La normativa ASTM D 1195 y D 1196 aparece por primera vez en 1952, basándose mucho en los procedimientos del USACE. La forma de cálculo en ensayes por primera vez surge en los años sesenta, con la aparición de los métodos de prueba propuestos por el USACE y la AASHTO (T 221 y T 222).

Prueba AASHO

Este ensaye de campo a gran escala, desarrollado en Ottawa, Illinois, EUA, fue de los primeros en su tipo, y sirvió de base para las metodologías de diseño empíricas hasta 1993.

En sus varias adaptaciones a lo largo de los años se manifestaron tendencias a incrementar los CBR y a reducir los contenidos de agua. Si bien nunca hubo una correlación franca entre la densidad seca y el valor de k, sí hubo una reducción de éste para contenidos altos de agua. Fue más evidente la reducción de k para valores altos del grado de saturación, pues éste representa en sí una combinación entre contenido de agua y la densidad seca. Se puede decir lo mismo respecto al CBR con las variaciones de porcentajes de saturación.

Es relevante señalar que, cuando se propusieron las primeras ecuaciones de solución del método AASHO, no existía una norma establecida para la prueba de placa, USACE o ASTM. Es por ello que se adoptó una modalidad similar a la empleada en los años treinta: obtención de k elásticos mediante tres ciclos de carga y descarga, para diferentes niveles de carga, con placa de 76.2 cm de diámetro. Se obtenía un valor ke dividiendo la presión ejercida entre la deformación promedio elástica, despreciando la deformación permanente. Curiosamente, éste fue el valor graficado en todos los reportes iniciales de la AASHO. También se obtuvo un módulo aproximado k global, kg, resultado de dividir los niveles de esfuerzo ejercidos en las pruebas entre la deformación total medida, ahora sí incluyendo las deformaciones permanentes, esto último para cada nivel de carga, como se aprecia en la figura 2. Si bien el valor de ke aparece –como ya se mencionó– en la mayoría de las gráficas, es el valor de kg representante de los meses libres de congelamiento el introducido en las ecuaciones de diseño.

Ya en 1972, en su versión modificada, la ya entonces AASHTO propuso entre sus actualizaciones usar un k medido sobre la capa base granular, o, como segunda opción, obtener un k combinado, resultado de involucrar rigideces del terreno de apoyo interactuando con la base granular. Sin embargo, como ya se mencionó, en la ecuación de diseño para pavimentos rígidos ya se había involucrado un kt encima de la capa base granular, de 16 KPa/mm (65 pci): parecía una discrepancia. La versión del método del mismo año sugería ajustar al valor de k para considerar un nivel de pérdida de soporte. Sin embargo, la pérdida de soporte ya había sido incorporada con anterioridad, desde la primera propuesta de ecuación de deterioro.

Debe tenerse presente que este método empírico ya había considerado una pérdida de soporte, pues los pavimentos de concreto de CP experimentaban deterioros severos por pérdida de soporte en las capas granulares, con problemas de bombeo importantes. Es decir, había otra fuente de error.

El valor de ke era en promedio 1.75 veces el valor de kg, y si bien el primero aparecía más en tablas y figuras de los reportes generados en las guías de diseño, en realidad los documentos finales que contenían los resultados del tramo de prueba de la entonces AASHO incluían el valor de kg obtenido en épocas del año sin influencia de congelamiento. Así pues, fue el kg el valor que se adoptó en las ecuaciones originales de diseño de la AASHO.

Es curioso que la antigua AASHO, en su ecuación de diseño de pavimentos rígidos, y para representar las condiciones medias de apoyo, haya seleccionado un valor k (módulo de reacción representativo), al nivel superior de una base granular, de 16 KPa/mm (60 pci). Este valor conservador representa al obtenido en ensaye de placa en temporada primaveral en la modalidad de kg encima de la capa de base granular. ¿Por qué se seleccionó este valor, y no el obtenido a nivel del terreno de apoyo? Es algo que no se sabe a la fecha.

Algunas observaciones a la versión AASHTO 1986

A partir de un módulo elástico del lugar a nivel de terreno natural, E, obtenido mediante simulaciones de capas elásticas en una prueba de placa en un semiespacio, se estableció que tal módulo podría relacionarse con el módulo resiliente de laboratorio, MR, conforme E = MR/ 19.4. Esta correlación ha probado ser irreal.

En esta versión se propuso un nomograma que arroja un valor combinado de k a partir de módulos elásticos del terreno natural de apoyo y base granular. El valor obtenido es en la parte superior de la base; este valor se derivó a partir de una simulación de capas elásticas aplicable a una prueba de placa de campo. También se ha demostrado que los valores de k son algo elevados, y no necesariamente reales.

El valor de k también se tenía que ajustar por la presencia posible de una “cimentación rígida” a no más de 3 m de profundidad; este ajuste nunca quedó documentado en forma explícita. De igual modo, el valor de k tenía que ajustarse por variaciones estacionales de las condiciones de contenidos de agua, esto es, la rigidez variaba con las estaciones del año. Si bien conceptualmente esta consideración parecía razonable, discrepaba con el hecho de que ya la ecuación original involucraba un valor fijo de k para su obtención, según se refiere en párrafos precedentes. Peor aún, la ecuación de la AASHTO de esta versión no estaba calibrada para las variaciones estacionales de k. Así pues, la consideración de mejorar el valor de k mediante un valor grueso y medio, representativo de todo el año, carecía de rigor. Resultaba que los valores de k variables, según un cierto factor de daño, poco tenían que ver con los valores resultantes de espesor de losa.

Se preparó también un nomograma para hacer ajustes por pérdidas de soporte. Las oquedades en bases erosionables que soportaban losas con juntas fueron estudiadas mediante análisis de elementos discretos. Se produjo un nomograma que castigaba significativamente los valores de k para diferentes severidades de pérdidas de soporte. Sin embargo, la ecuación de diseño (modelo de solución de pavimentos rígidos) ya consideraba la presencia de bases granulares que sufrieron en el tramo de prueba fuertes fenómenos de bombeo.

Desarrollo de métodos de cálculo inverso

Para el caso de pavimentos flexibles, algunos autores (Hoffman y Thompson, 1981) propusieron un análisis de la cuenca de deflexiones a partir de deflexiones medidas en pavimentos en servicio a 0, 30.5, 0.61 y 91.4 cm, normalizadas a una deflexión máxima, que ocurre en el punto de aplicación de carga. El método de retrocálculo fue extendido para parámetros elásticos en pavimentos de CCP empleados en aeropuertos y carreteras, así como para la obtención de k para las capas de apoyo. Las relaciones entre las áreas transversales de las cuencas de deflexión y la máxima deflexión variando los parámetros elásticos como E y k fueron establecidas usando programas de elementos finitos, ello para espesores de losa y dimensiones específicas. Como ya se mencionó, para realizar estos trabajos se requieren las deflexiones medidas en campo a través de deflectómetros de impacto (FWD, por su nombre en inglés). Los valores de k obtenidos mediante FWD casi siempre son mayores, más del doble del k estático, que aquéllos obtenidos a través de pruebas de placa convencionales.

Otros autores (Hall, 1991) prepararon dos nomogramas que fueron incluidos para la guía de diseño de la AASHTO de 1993; uno (véase figura 3) para determinar los valores de módulo elástico y de k mediante retrocálculo, y otro para determinar los módulos elásticos del concreto de CP (véase figura 4).

Cabe señalar que, al igual que otros procedimientos anteriores de solución mediante métodos numéricos, esta solución gráfica adolece de la limitación de considerar losas infinitas. Posteriormente, ya en 1985, otros autores (Foxworth, 1985) adaptaron el esquema de retrocálculo a un ambiente computarizado. En ensayes extensos realizados en varias instalaciones aeroportuarias se observó, en forma reiterada, que el valor en campo arrojaba valores de k, mediante retrocálculo, mucho mayores a los obtenidos a través de pruebas de placa de campo. La relación variaba entre 1.6 y 4.7. La guía de diseño de la AASHTO versión 1993 recomienda dividir entre 2 el valor de k obtenido a partir de deflexiones, para obtener un k estático.

Correlación de k con el tipo de base y suelo de apoyo

Smith et al. (1990) reportan un estudio de deflexiones y relaciones de k con diferentes tipos de suelos soportando a pavimentos rígidos de concreto simple con juntas y con refuerzo continuo. Los resultados corresponden a suelos de apoyo específicos y a bases granulares con y sin estabilización. Los resultados obtenidos con retrocálculo concuerdan bien con aquéllos obtenidos a través de prueba de placa. Ello sugiere que los datos obtenidos con ensayes no destructivos, en este caso con FWD, pueden ser confiables. Por otro lado, en el mismo estudio se midió la influencia de las estabilizaciones, y se obtuvo que en general, y en promedio, hubo un incremento en k del orden de 20% para el caso de bases estabilizadas. Para fines comparativos, en estas investigaciones se usaron los mismos suelos de apoyo.

Este tipo de análisis y consideraciones se justifican, ya que los métodos de la AASHTO 1993 y la PCA vigente proponen el empleo de nomogramas que resultan en k mejorados o combinados sensiblemente mayores. Se pueden hacer ejemplos usando los criterios mencionados y la relación de incremento: una base cuyo k es de 27 KPa/mm (100 pci) cambia de 2.5 (AASHTO 93) a 3 (criterio PCA). Ello da una idea de la sobreevaluación de k para bases estabilizadas que se podrían obtener con estos métodos. Es decir, el diseñador de pavimentos debe conocer esta fuerte deficiencia de los métodos antes mencionados.

Es posible que esta discrepancia se deba a que en la metodología de retrocálculo se hace la hipótesis de una losa muy larga. Esto contraviene la posible reducción de la relación largo:tasa de rigidez relativa. En efecto, esta relación podría ser reducida en algunas losas apoyadas en bases estabilizadas; la relación tiende a incrementarse para el caso de losas apoyadas en bases sin estabilizar, o incluso en losas apoyadas en terreno natural. Cuanto más se reduzca la relación anterior, más se aleja la hipótesis de métodos de retrocálculo. Se debe tener presente que la tasa de rigidez relativa es función directa del espesor de la losa, su módulo de rigidez y función inversa del módulo de reacción del sistema.

Congruencia entre mediciones de k en bases rígidas

Otros estudios (Kogure, 1994) han arrojado resultados interesantes en k obtenidos mediante pruebas de placa apoyadas en capas granulares resistentes en aeropuerto, y se han comparado con k obtenidos mediante deflexiones medidas en losas y posterior uso de  retrocálculo. Los experimentos fueron ejecutados en capas de roca triturada de 10 y 20 cm de espesor apoyadas en gravas de tipo aluvial. Las placas eran de 30 cm de diámetro. Los valores de esfuerzo fueron determinados con las soluciones cerradas de Westergaard en interior, borde y esquinas. El módulo E se obtuvo en laboratorio. Otra vez: las mediciones de k en el paño superior de las bases fueron de dos a cuatro veces las determinadas mediante retrocálculo. Esta discrepancia aumentaba con la magnitud de la carga. Parecería que el valor de k siempre resulta muy irreal cuando se mide en placa directamente en la capa granular. Una explicación posible es que lo que gobierna en realidad es la rigidez de la capa de apoyo o suelo de cimentación.

Presencia de capas duras a poca profundidad

Muchos métodos de diseño de pavimentos rígidos consideran de manera irreal el aumento de k debido a la presencia de una capa rígida, digamos a profundidades de menos de 3 m respecto de la capa de rodadura. El efecto benéfico es muy difícil de valuar; incluso mediante métodos numéricos, el valor de k puede aumentar hasta cuatro o cinco veces el valor de la capa de los suelos de apoyo; es decir, a todas luces es un valor excesivo que no refleja la contribución real de rigidez al conjunto.

Caso del método M-E actual (AASHTO 2008)

Para el caso particular de la metodología M-E de la AASHTO vigente (derivada del proyecto NCHRP1-37 A), el k es el modelo de Winkler, pero en este caso es un kdinámico. Este parámetro se obtiene para la capa de apoyo a partir de un proceso de conversión que considera los módulos k de la capa de apoyo y de la capa de subbase, más el espesor de esta última. Dicho proceso consiste en transformar un sistema de multicapa en tres capas equivalentes: losa, base y un módulo de reacción efectivo, kd. Ello se lleva a cabo dentro del programa de cómputo del M-E (véase figura 5).

Para cada incremento de tiempo o etapa en el análisis –el valor de kdinámico, kd, es variable con el tiempo–, el valor de dicho módulo se obtiene como sigue:

  • Se asignan parámetros elásticos a cada capa granular, E y ν.
  • Usando la teoría elástica multicapa, se simula una carga mediante FWD y se calculan los esfuerzos a nivel de capa de apoyo y subbase.
  • Se ajustan los valores de MR para considerar el estado de esfuerzos, determinados en el paso anterior.

Otra vez, usando la teoría elástica de multicapa, se simulan las cargas de un FWD, pero ahora usando los valores mejorados de MR de las capas de apoyo y de subbase del paso inmediato anterior. Se procede a calcular las deflexiones en la superficie de la losa de CCP a radios especificados a partir del centro del área cargada.

Se usa ahora el modelo de respuesta del pavimento rígido para determinar el kd que se ajuste mejor a las deflexiones calculadas del paso anterior.

Nótese que en este proceso se involucra un modelo de respuesta del pavimento rígido, es decir, se apoya en modelos de deterioro particulares de los proyectos estudiados para su definición. Este modelo no incluye todas las formas de deterioro, y muchos analistas aún no consideran los parámetros involucrados en cada modelo, o, peor, podría no ajustarse a las condiciones locales de un sitio en estudio. También debe notarse que el valor de kd no es un dato de entrada directo, sino un parámetro generado dentro del programa general de la metodología M-E; de hecho, representa a la compresibilidad del sistema por debajo de la capa base.

El valor kd sirve para calcular las condiciones críticas relativas a esfuerzos, deformaciones y deflexiones; ello de forma incremental, por mes, de forma que su valor incide en los daños acumulados en que se apoya la determinación de la respuesta final del pavimento para una determinada vida útil. Desde luego, se ve influido por las condiciones de humedad, clima, tipo de suelo y tiempo.

Conclusiones

Sin pretender repasar todas las variables que inciden en el establecimiento de las condiciones de apoyo –tipo de suelos, suelos granulares de transición, capas de rodadura, condiciones ambientales aplicables, tiempo y su interacción–, se pueden emitir ciertas conclusiones.

El valor del módulo de reacción es influido significativamente por su manera de obtenerlo e interpretarlo. En un inicio se consideraban sólo las respuestas elásticas; por su facilidad, se adoptó, desde 1925, el concepto de cimentación de “líquido denso”, el cual ha resultado en lo general razonable. En el caso particular de losas de concreto de CP, se presenta el problema de cómo tomar en cuenta los esfuerzos ocasionados por alabeo, sobre todo a edades tempranas del CCP.

La prueba de carga de campo, cuando se realiza sobre la capa de base granular, no refleja al valor más realista de k en el sistema. Tiende a sobreestimar este último valor.

Si se van a utilizar métodos de diseño empíricos, hay que tomar en cuenta que existen incongruencias en los métodos de cálculo, pues éstos casi siempre incluyen una estimación de un valor de k, cuando en la ecuación de deterioro empleada ya se adoptaron valores de k para definir el posible desempeño.

Las versiones anteriores a la M-E de la AASHTO involucraban valores de k sobreestimados.

Las técnicas de cálculo inverso han coadyuvado a la definición más racional de k dinámico. La medición de deflexiones a nivel de superficie de rodadura ha simplificado la obtención razonable de k, sobre todo en vialidades existentes.

Los métodos mecanicistas empíricos utilizan una subrutina de cómputo que calcula internamente las características de compresibilidad de las capas subyacentes a la losa de rodadura de un pavimento rígido. Ello lo hace mediante el cálculo de un k dinámico que se concilia con los estados de esfuerzos en las capas que componen al pavimento. Para esto último se utilizan técnicas de análisis multicapas elásticas y la introducción de módulos resilientes medidos en las capas. El proceso es iterativo hasta hacer conciliar deflexiones resultantes. El valor de k no es un dato de entrada, sino uno calculado dentro del programa de cómputo

Referencias

American Association of State Highway and Transportation Officials, ASSHTO (2008). Mechanistic-Empirical Pavement Design Guide. A manual of practice.

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